如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AD上．（1）求证：BE=CE；（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．试探索AE与BD的数量关系，并证

Question

如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．试探索AE与BD的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

证明：（1）∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=CE；

（2）AE=2BD．理由如下：
∵∠BAC=45°，BF⊥AC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∵AD垂直平分BC，
∴∠EAF+∠C=90°，BC=2BD，
∴∠CBF=∠AEF，
在△AEF和△BCF中，

∠CBF＝∠AEF

  AF＝BF  

∠AFE＝∠BFC

，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE=BC，
∴AE=2BD．