如图,已知AD是△ABC的高,AD=BC,以AB为底边作等腰Rt△ABE,求证DE平分∠ADC

Question

如图,已知AD是△ABC的高,AD=BC,以AB为底边作等腰Rt△ABE,求证DE平分∠ADC

Answer 1

设AD和BE交于M
连接EC
∵△ABE是等腰直角三角形
∴AE=BE
∠AEB=∠AEM=90°
∵AD是△ABC的高
∴∠ADB=∠MDB=90°
∵∠AME=∠BMD(对顶角）
∴△AEM∽△BDM
∴∠MAE=∠MBD
即∠DAE=∠EBC
在△ADE和△BCE中
AE=BE
AD=BC
∠DAE=∠EBC
∴△ADE≌△BCE
∴∠ADE=∠BCE=∠DCE
DE=CE
∴∠EDC=∠DCE(△CDE是等腰三角形）
∴∠ADE=∠EDC
∴DE平分∠ADC