如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC=90°时，四边形AEFD是矩形．其中

Question

如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC=90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论有（　　）个．

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Answer 1

∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，

AB=EB

∠CBA=∠FBE

BC=BF

，
∴△ABC≌△EBF（SAS），
∴EF=AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD=DC，
同理可得△ABC≌△DFC，
∴DF=AB=AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
∴∠FEA=∠ADF，
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF，
在△FEB和△CDF中，

EF=DC

∠FEB=∠CDF

EB=FD

．
∴△EBF≌△DFC（SAS），故①正确，
∴EB=DF，EF=DC．
∵△ACD和△ABE为等边三角形，
∴AD=DC，AE=BE，
∴AD=EF，AE=DF
∴四边形AEFD是平行四边形；故②正确，
若AB=AC，则AE=AD，四边形AEFD是菱形此，
故△ABC满足AB=AC时，四边形AEFD是菱形；故③正确
若∠BAC=150°，则平行四边形AEFD是矩形；
由（1）知四边形AEFD是平行四边形，则∠EAD=90°时，可得平行四边形AEFD是矩形，
∴∠BAC=360°-60°-60°-90°=150°，
即△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形；
∴∠BAC=120°，四边形AEFD不是矩形；故④错误，
故选C．