如图：已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=9cm，AC=10cm，BC=15cm，∠CAB=90°．试求：（1）△ABE的面积．（2）AD的长度．（3）△ACE和△ABE的周长的差．

Question

如图：已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，AB=9cm，AC=10cm，BC=15cm，∠CAB=90°．试求：

（1）△ABE的面积．
（2）AD的长度．
（3）△ACE和△ABE的周长的差．

Answer 1

（1）如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=9cm，AC=12cm，
∴S_△ABC=(1)/(2)AB•AC=(1)/(2)×9×12=54（cm²）．
又∵AE是边BC的中线，
∴BE=EC，
∴(1)/(2)BE•AD=(1)/(2)EC•AD，即S_△ABE=S_△AEC，
∴S_△ABE=(1)/(2)S_△ABC=27（cm²）．
∴△ABE的面积是27cm²．

（2）∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，
∴(1)/(2)AB•AC=(1)/(2)BC•AD，
∴AD=(AB•AC)/(BC)=(9×12)/(15)=(36)/(5)（cm），即AD的长度为(36)/(5)cm；

（3）∵AE为BC边上的中线，
∴BE=CE，
∴△ACE的周长-△ABE的周长=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=12-9=3（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是3cm．