在平面直角坐标系中，点P（m2-n2，1m2n-mn2）满足m+n=4mn时，就称点P为“曲点”．若两个“曲点”A，B横坐标分别为a和2a，O为坐标原点，求△OAB的面积．

Question

在平面直角坐标系中，点P（m²-n²，(1)/(m2n-mn2)）满足m+n=4mn时，就称点P为“曲点”．若两个“曲点”A，B横坐标分别为a和2a，O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

∵m+n=4mn，
∴(1)/(m2n-mn2)=(1)/(mn(m-n))=(4)/((m+n)(m-n))=(4)/(m2-n2)，
∴（m²-n²）•(1)/(m2n-mn2)=4，
∵点P（m²-n²，(1)/(m2n-mn2)）满足m+n=4mn时，就称点P为“曲点”，
∴“曲点”的横纵坐标之积为4．
过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，延长CA、DB交于点E，如图所示．
∵两个“曲点”A，B横坐标分别为a和2a，
∴A（a，(4)/(a)），B（2a，(2)/(a)），
∴E（2a，(4)/(a)），
∴S_△OAB=OD•OC-S_△OAC-S_△OBD-S_△ABE=|2a|•|(4)/(a)|-(1)/(2)×4-(1)/(2)×4-(1)/(2)|2a-a|•|(4)/(a)-(2)/(a)|=3．