急设a∈R,z∈C,z=x+yi(x,y∈R),已知(z2-a2)/(z2+a2)是纯虚数,求Z的轨迹方程,

Question

急 设a∈R,z∈C,z=x+yi(x,y∈R),已知(z2-a2)/(z2+a2)是纯虚数,求Z的轨迹方程,

Answer 1

∵(z²-a²)/(z²+a²)
=[(x+yi)²-a²]/[(x+yi)²+a²]
=[(x²-y²-a²)+2xyi]/[(x²-y²+a²)+2xyi]
=[(x²-y²-a²)+2xyi]*[(x²-y²+a²)-2xyi]/[(x²-y²+a²)²+4x²y²]
=[(x²-y²-a²)(x²-y²+a²)+4x²y²+4a²xyi]/[(x²-y²+a²)²+4x²y²]
为纯虚数
∴(x²-y²-a²)(x²-y²+a²)+4x²y²=0 4a²xy≠0
∴（x²-y²)²-a⁴+4x²y²=0
x⁴+y⁴+2x²y²=a⁴
（x²+y²)²=a⁴
∴x²+y²=a² （a≠0,xy≠0)
即Z的轨迹方程x²+y²=a² （a≠0,xy≠0)
表示以原点为圆心|a|为半径的圆(去除与坐标轴交点）