已知abcdxy都是正数且x+y=1证明：（ax+by）(bx+ay)≤四分之（a+b）^2注：右边是(a+b)的平方除以4看的懂吧三角代换也想过貌似有点困难柯西不等式貌似不行没有分母4出现(x^2+y^2)≤(x+y)^

Question

已知 a b c d x y 都是正数 且x+y=1
证明：（ax+by）(bx+ay)≤四分之（a+b）^2
注：右边是(a+b)的平方 除以4 看的懂吧
三角代换也想过 貌似有点困难
柯西不等式貌似不行 没有分母4出现
(x^2 +y^2 ) ≤(x+y)^2 /2 这个似乎错的
ljy3827 - 试用期 一级

Answer 1

(ax+by)(bx+ay)
=abx^2+aby^2+xya^2+xyb^2
=ab(x^2+y^2)+xy(a^2+b^2)
=ab((x+y)^2-2xy)+xy(a^2+b^2)
=ab(1-2xy)+xy(a^2+b^2)
=ab+xy(a^2+b^2-2ab)
=ab+(a-b)^2 * xy