已知数列{an}与{bn}满足：a1+a2+a3+…+an=log2bn（n∈N*）．若{an}为等差数列，且a1=2，b3=64b2．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设cn=(an+n+1)•2an-2，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn并比较nTn与13n+10的大小（n∈N*）

Question

已知数列{a_n}与{b_n}满足：a₁+a₂+a₃+…+a_n=log₂b_n（n∈N^*）．若{a_n}为等差数列，且a₁=2，b₃=64b₂．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设cn=(an+n+1)•2an-2，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n并比较(n)/(Tn)与(1)/(3n+10)的大小（n∈N^*）．

Answer 1

（Ⅰ）由已知可得：a₁+a₂+a₃=log₂b₃，a₁+a₂=log₂b₂，
两式相减可得：a₃=log2(b3)/(b2)=log₂64=6，
∵a₁=2，∴d=2，∴a_n=2n，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=2•(n(n+1))/(2)=n（n+1）=log₂b_n，
∴b_n=2^n（n+1）；
（Ⅱ）由题意c_n═（a_n+n+1）•2 an-2=（3n+1）4^n-1，
∴T_n=4+7•4+10•4²+…+（3n+1）•4^n-1，
4T_n=4•4+7•4²+10•4³+…+（3n+1）•4ⁿ，
两式相减得：-3T_n=4+3•4+3•4²+…+3•4^n-1-（3n+1）•4ⁿ
=4+3（4+4²+…+4^n-1）-（3n+1）•4ⁿ
=4+3•(4(1-4n-1))/(1-3)-（3n+1）•4ⁿ，
整理得：T_n=n•4ⁿ（n∈N^*）．
∴(n)/(Tn)=(1)/(4n)，即比较(n)/(Tn)与(1)/(3n+10)的大小就是比较4ⁿ与3n+10的大小．
当n=1时，4<13，有4ⁿ<3n+10，
当n=2时，16=16，有4ⁿ=3n+10，
当n=3时，64>19，有4ⁿ>3n+10，
猜测：当n≥3时，有4ⁿ>3n+10（n∈N^*）．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=3时显然成立；
（2）假设当n=k（k≥3，k∈N^*）时，4^k>3k+10．
则当n=k+1时，4^k+1=4•4^k>4（3k+10）=[3（k+1）+10]+9k+27>3（k+1）+10，
即当n=k+1时，4ⁿ>3n+10成立；
综上所述，当n≥3时，有4ⁿ>3n+10（n∈N^*）．