已知曲线C:x2－y2＝１及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值.

Question

已知曲线C:x ² －y ² ＝１及直线l:y=kx-1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为2，求实数k的值.

Answer 1

1、k的取值范围为
(－ ，－１)∪(－１，１)∪(１， ).
2、ｋ＝０或k=± ．

(1)由 消去y，得
(1－ｋ ² )ｘ ² ＋２ｋｘ－２＝０.
由
得k的取值范围为
(－ ，－１)∪(－１，１)∪(１， ).
(2)设Ａ(ｘ ₁ ，ｙ ₁ )、Ｂ(ｘ ₂ ，ｙ ₂ )，
由(1)得ｘ ₁ ＋ｘ ₂ ＝－ ，ｘ ₁ ｘ ₂ ＝－ .又l过点D(0，-1),
∴Ｓ _△ＯＡＢ ＝Ｓ _△ＯＡＤ ＋Ｓ _△ＯＢＤ
＝ |ｘ ₁ |＋ |ｘ ₂ |
＝ |ｘ ₁ －ｘ ₂ |＝ .
∴(ｘ ₁ －ｘ ₂ ) ² ＝(２ ) ² ,即( ) ² ＋ ＝８.∴ｋ＝０或k=± ．