求极限：limx→0 (1-cosx)/2x例题用无穷小替换,可是他将1－2x换成x^2 / 2,算出来是0.而我换成x,算出来是1/2.为什么不能换成x?当x = 0时也是等于0啊.写错了，替换的是1－cosx不是“1－2x”

Question

求极限：limx→0 (1-cosx)/2x
例题用无穷小替换,可是他将1－2x换成x^2 / 2,算出来是0.而我换成x,算出来是1/2.为什么不能换成x?当x = 0时也是等于0啊.
写错了，替换的是1－cosx不是“1－2x”

Answer 1

是的,等价无穷小替换的时候就要把1-cosx替换成x^2 /2
替换的时候一定要保证所替换的这两个式子是等价的,
即两者比值的极限是1,
显然
x趋于0的时候,
lim(x→0) (1-cosx) / (x^2/2)
=lim(x→0) (1-cosx)' / (x^2/2)' 洛必达法则,同时求导
=lim(x→0) sinx /x
=1
所以1-cosx和x^2 /2是等价的
而(1-cosx) /x的极限值就不是1了,当然不能随便替换
你这样想,要是只要等于0了就能替换,
那x^2,x^3,x^4还不随便换都可以么?