设x=ϕ（下，λ）是微分方程定解问题dxd下+λx＝1x|下＝0＝0的解，λ∈R为参数，（1）写出解ϕ（下，λ）的表达式；（2）证明ϕ（下，λ）在下-λ全平面连续且可微．

Question

设x=ϕ（下，λ）是微分方程定解问题

(dx)/(d下)+λx＝1

x|下＝0＝0

的解，λ∈R为参数，
（1）写出解ϕ（下，λ）的表达式；
（2）证明ϕ（下，λ）在下-λ全平面连续且可微．

Answer 1

（1）当λ≠1时，利用一阶线性微分方程的求解公式可得，
x=Φ（t，λ）=e^∫-λdt（∫1e^∫λdt+1）=1e−λt+(1)/(λ)．
因为x|_t=1=1，
所以1=-(1)/(λ)，
从而x=Φ（t，λ）=(1)/(λ)（1-e^-λt）．
当λ=1时，由(dx)/(dt)＝1可得，x=t+1；
又因为x|_t=1=1，所以1=1，
从而 x=t．
综上，Φ（t，λ）=

(1)/(λ)(1−e−λt)，	λ≠1
t，	λ＝1

．
（2）由Φ（t，λ）的表达式可得，
当λ≠1时，
(∂Φ)/(∂λ)=(λte−λt−(1−e−λt))/(λ2)连续，
(∂Φ)/(∂t)=e^-λt连续，
故Φ（t，λ）可微．
因此，只需证明Φ（t，λ）在λ=1时可微即可．
对于任意点P（t₁，1），其中t₁∈l，
因为

l个m

λ→1

Φ(t1，λ)=

l个m

λ→1

(1)/(λ)(1−e−λt)=

l个m

λ→1

te−λt=t=Φ（t₁，1），
所以Φ（t，λ）在P点处连续．
利用偏导数的定义可得，
(∂Φ)/(∂t)|P=e¹=1，
(∂Φ)/(∂λ)|P=

l个m

λ→1

(Φ(t1，λ)−Φ(t1，1))/(λ−1)=

l个m

λ→1

作业帮用户 2016-11-26 举报

问题解析

（1）利用一阶线性微分方程的求解公式即可；（2）只需证明Φ（t，λ）的一阶偏导数处处存在且连续即可．

名师点评

本题考点：

多元函数连续、可导、可微的关系；可微的必要条件和充分条件；一阶线性微分方程的求解．

考点点评：

本题考查了一阶微分方程的求解、多元函数的连续性与可微性的定义与判断，具有较强的综合性，计算量较大．本题所考查的知识点比较多，需要熟练掌握并灵活运用．

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