用3个三角形最多可以把平面分成几部分？10个三角形呢？

Question

用3个三角形最多可以把平面分成几部分？10个三角形呢？

Answer 1

平面本身是1部分．一个三角形将平面分成三角形内、外2部分，即增加了1部分，
两个三角形不相交时将平面分成3部分，相交时，交点越多分成的部分越多（见下图）；

由上图看出，新增加的部分数与增加的交点数相同，所以，再画第3个三角形时，应使每条边的交点尽量多；
对于每个三角形，因为1条直线最多与三角形的两条边相交，所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共可产生3×（2×2）=12（个）交点，即增加12部分；
因此，3个三角形最多可以把平面分成：1+1+6+12=20（部分）；
由上面的分析，当画第n（n≥2）个三角形时，每条边最多与前面已画的（n-1）个三角形的各两条边相交，
共可产生交点：3×[（n-l）×2]=6（n-1）（个），能新增加6（n-1）部分，
因为1个三角形时有2部分，所以n个三角形最多将平面分成的部分数是：
2+6×[1+2+…+（n-1）]=2+6×(n(n−1))/(2)=2+3n（n-1），
当n=10时，可分成：2+3×10×（10-1）=272（部分）．
答：3个三角形最多可以把平面分成20部分，10个三角形最多可以把平面分成272部分．