A为n阶方阵,(A-E)^2=3(A+E)^2,则A可逆,A+E可逆,A+2E可逆,A+3E可逆都正确.如题,为什么呢.求解

Question

A为n阶方阵,(A-E)^2=3(A+E)^2,则A可逆,A+E可逆,A+2E可逆,A+3E可逆都正确.
如题,为什么呢.求解

Answer 1

证明方阵可逆只要其行列式不等于0即可,
(A-E)^2=3(A+E)^2,
展开得到
A^2 +4A+ E=0,
所以
A*(A+4E)= -E
那么等式两边取行列式得到|A| * |A+4E|= -1,
所以显然|A|不等于0,A可逆
再由A^2 +4A+ E=0
(A+E)(A+3E)= 2E,
所以显然A+E和A+3E的行列式也都不为0,是可逆的
而(A+2E)(A+2E)= 3E,
故A+2E的行列式不为0,是可逆的
于是A可逆,A+E可逆,A+2E可逆,A+3E可逆都正确