（2014•平房区一模）如图，AB是直径，CA切⊙O于点A，连接BC交⊙O点D，E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F．（1）求证：AC=CF；（2）FE=2，AF=4，求AC的长．

Question

（2014•平房区一模）如图，AB是直径，CA切⊙O于点A，连接BC交⊙O点D，E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F．
（1）求证：AC=CF；
（2）FE=2，AF=4，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接BE，
∵CA是⊙O的切线，
∴∠CAB=90°，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵E是弧BD的中点，
∴弧DE=弧BE，
∴∠BAE=∠DBE，
∴∠CAE=∠EFB=∠AFC，
∴AC=CF；
（2）∵弧DE=弧BE，
∴∠BAE=∠DBE
∵∠E=∠E，
∴△BEF∽△ABE，
∴(BE)/(AE)＝(EF)/(BE)
∴BE²=EF•AE，
∴BE=2√(3)，
∴tan∠EFB=(EF)/(BE)=√(3)，
∴∠EFB=60°，
∵AC=CF，
∴△ACF是等边三角形，
∴AC=AF=4．