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设A为n阶方阵,已知AX=A+X,求（1）（A-E）^-1,（2）矩阵X
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设A为n阶方阵,已知AX=A+X,求（1）（A-E）^-1,（2）矩阵X
▼优质解答
答案和解析
可将AX-X=A写成AX-EX=A
所以(A-E)X=A
再两边都加E可得：(A-E)X+E=A+E
(A-E)X+E-A=E
(A-E)X-（A-E）E=E
所以 (A-E)（X-E)=E
有定义可知
（A-E）^-1=X-E
又由(A-E)X=A可得X=（A-E）^-1A=（X-E）A
所以(A-E)X=A
再两边都加E可得：(A-E)X+E=A+E
(A-E)X+E-A=E
(A-E)X-（A-E）E=E
所以 (A-E)（X-E)=E
有定义可知
（A-E）^-1=X-E
又由(A-E)X=A可得X=（A-E）^-1A=（X-E）A
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