证明:任意一个n阶矩阵都可以表示为一个对称矩阵……1.证明:任意一个n阶矩阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,并且这种表示方法是唯一的.求证明啊,高手们!要详细证明

Question

证明:任意一个n阶矩阵都可以表示为一个对称矩阵……
1.证明:任意一个n阶矩阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和,并且这种表示方法是唯一的. 【求证明啊,高手们!要详细证明过程……】
2.设A、B为n阶方阵,且A=1/2(B+E).证明：A^2=A当且仅当B^2=B.【求证】

Answer 1

因为A=[A+A']/2+[A-A']/2
A'表示A的转置
显然[A+A']/2是对称矩阵,[A-A']/2是反对称矩阵
A=1/2(B+E).
A^2=A当且仅当A^2=【1/2(B+E)】^2=1/4[B(B+E)+(B+E)]=1/4[2BA+2A]=1/2[B+E]A=A^2