求证：以一个三角形三边中线为边的三角形的面积是原三角形面积的34．

Question

求证：以一个三角形三边中线为边的三角形的面积是原三角形面积的(3)/(4)．

Answer 1

已知：AD，CF，BE是△ABC的三条中线．
求证：以AD，CF，BE为边的三角形的面积=(3)/(4)S_△ABC．
证明：如图，AD、BE、CF为△ABC的三条中线，延长AD到G，使DG=AD，连接BG、GC，
取BG中点H，连接FH、CH，
∴四边形ABGC为平行四边形，
∴AC=BG，
又因为E、H分别为AC、BG中点，
∴BH平行且等于EC，
∴四边形BHCE为平行四边形，
∴HC=BE，
又∵F、H为AB、BG中点，
∴FH平行且等于(1)/(2)AG，
∴FH平行且等于AD，
∴△FCH三边长即为△ABC三中线长，
又∵△BHF∽△ABG，(BF)/(AB)＝(1)/(2)
∴S△BFH＝(1)/(4)S△ABG＝(1)/(4)×(1)/(2)S平行四边形ABGC＝(1)/(4)S△ABC，
∵S_△CAF=(1)/(2)S_△ABC，S_△CHG=(1)/(2)S_△CBG=(1)/(2)S_△ABC，
∴S_△FCH=S_{平行四边形ABGC}-S_△BHF-S_△CHG-S_△CAF=2S_△ABC-(1)/(4)S_△ABC-(1)/(2)S_△ABC-(1)/(2)S_△ABC=(3)/(4)S_△ABC．