在直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，2），C（0，-2），点E在线段AB（不含端点）上，点F在线段CD上，E、O、F三点共线．（1）若F为线段CD的中点，证明：OE⊥AB；（2）小题（1）的逆命题是

Question

在直角坐标系中，已知A（4，0），B（0，2），C（0，-2），点E在线段AB（不含端点）上，点F在线段CD上，E、O、F三点共线．
（1）若F为线段CD的中点，证明：

OE

⊥

AB

；
（2）小题（1）的逆命题是否成立？说明理由；
（3）设

AE

=λ

EB

，

DF

=μ

FC

（λ、μ∈R），求λμ的值．

Answer 1

（1）若F为线段CD的中点，则F（-(1)/(2)，-1），

OF

=（-(1)/(2)，-1），

AB

=（-4，2），

OF

•

FB

=2-2=0，∴OF⊥AB．
又∵OF∥OE，∴

OE

⊥

AB

．
（2）小题（1）的逆命题成立，设F（x，y），由OF⊥AB 可得

OF

•

AB

=-4x+2y=0，∴y=2x．
由C、F、D共线，

CF

=（x+1，y），

CD

=（1，-2），可得(x+1)/(1)＝(y)/(−2)，y=-2x-2．
解方程组

y＝2x

y＝−2x−2

，求得

x＝−(1)/(2)

y＝−1

，可得F（-(1)/(2)，-1），故F为CD的中点．
（3）∵

AE

=λ

EB

，设E（m，n），由定比分点坐标公式可得 m=(4+0×λ)/(1+λ)=(4)/(1+λ)，n=(0+2λ)/(1+λ)=(2λ)/(1+λ)．
∵

DF

=μ

FC

（λ、μ∈R），设F（x，y），由定比分点坐标公式可得x=(0+(−1)μ)/(1+μ)=(−μ)/(1+μ)，y=(−2+0×μ)/(1+μ)=(−2)/(1+μ)．
∵E、O、F三点共线，可得

OF

∥

OF

，∴xn=ym，
∴(−μ)/(1+μ)•(2λ)/(1+λ)=(−2)/(1+μ)•(4)/(1+λ)，化简可得λμ=4．