①已知α⊥β，a⊥β，a⊄α；求证：a∥α．②已知a⊥β，a∥α；求证：α⊥β．

Question

①已知α⊥β，a⊥β，a⊄α；求证：a∥α．
②已知a⊥β，a∥α；求证：α⊥β．

Answer 1

证明：（1）在平面α内作直线b垂直于α与β的交线，
∵α⊥β∴b⊥β
又∵a⊥β∴a∥b
∴a∥α
（2）过直线a作平面γ，有γ∩α=b，
∵a∥α，∴a∥b
又∵a⊥β∴b⊥β
∴α⊥β．