如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（

Question

如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2√(30)．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（　　）

A．6
B．8
C．10
D．12

Answer 1

如图所示，作BB′⊥b，分别交b，a于点P，Q，且满足B′Q=BP=3．
再作AC⊥a，垂足是C点，延长AC到点A′，使得A′C=CA=2．
连接A′B交a于点M，过点M作MN⊥a，交b于点N．
则AM+MN+NB的长度和最短．证明如下：
若在直线a上取除了点M以外的任意一点M′，
则AM′+M′N′+N′B=A′M′+M′N′+B′M′＞A′B′+MN．
作BE⊥AC交AC的延长线于点E．作A′F⊥BB′．垂足为点F．
此时AM+NB=A′B′．
∵AB²=AE²+EB²，∴(2√(30))2＝(2+4+3)2+EB2，解得EB²=39．
∴此时AM+NB=A′B′=√(A′F2+B′F2)=√(39+(2+4+3−2−2)2)=8．
故选：B．