如图1和图2，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（1）图1中，①证明：△ACE∽△CBD；②若AE=a，BD=b，计算△ACB的面积．（2）图2中，若AE=a，BD=b，（b＞a）计算梯形ADBE的面积．

Question

如图1和图2，∠ACB=90°，AC=BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．

（1）图1中，①证明：△ACE∽△CBD；②若AE=a，BD=b，计算△ACB的面积．
（2）图2中，若AE=a，BD=b，（b＞a）计算梯形ADBE的面积．

Answer 1

（1）①证明：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCD=180°-90°=90°，
∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°，在△ACE中，
∠ACE+∠CAE=180°-∠E=90°，
∴∠CAE=∠BCD，
∴△ACE∽△CBD；
②∵△ACE∽△CBD；
AC=BC，
∴△ACE≌△CBD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∵ED为梯形AEDB的高，
∴△ACB的面积=梯形AEDB面积-△ACE面积-△CBD的面积，
=(AE+BD)/(2)×DE-(1)/(2)AE×EC-(1)/(2)BD×DC，
=(a+b)/(2)×（a+b）-(1)/(2)ab-(1)/(2)ab，
=(1)/(2)（a²+b²），
（2）∵△ACE≌△CBD（已证），
∴CD=AE，CE=BD，
∵AE=a，BD=b，
∴CE=b，CD=a，
∴DE=CE-CD=b-a，
∴梯形ADBE面积=(AE+BD)/(2)×DE，
=(a+b)/(2)×（b-a），
=(b2−a2)/(2)．