如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE=23，∠DPA=45°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．

Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE=2√(3)，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．

Answer 1

（1）∵OC⊥DE，
∴DC=EC=(1)/(2)DE=(1)/(2)×2√(3)=√(3)，
∵弦DE垂直平分半径OA，
∴OC=(1)/(2)OA=(1)/(2)OE，
在Rt△OCE中，∵OE=2OC，
∴∠E=30°，
∴OC=(√(3))/(3)CE=1，
∴OE=2，
即⊙O的半径为2；
（2）连结OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如图，
∵∠DPA=45°，
∴∠DDC=45°，
∴∠EOF=2∠EPF=90°，△PCD为等腰直角三角形，
∴图中阴影部分的面积=S_扇形EOF-S_△OEF
=(90•π•22)/(360)-(1)/(2)•2•2
=π-2；
∵BC=AB-AC=4-1=3，
而DC=√(3)，
∴BD=√(DC2+BC2)=2√(作业帮用户2017-11-05举报问题解析（1）根据垂径定理由OC⊥DE得EC=(1)/(2)DE=√(3)，由弦DE垂直平分半径OA得OC=(1)/(2)OA=(1)/(2)OE，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠E=30°，OC=(√(3))/(3)CE=1，所以OE=2；（2）连结OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如图，根据圆周角定理得∠EOF=2∠EPF=90°，则根据扇形面积公式和图中阴影部分的面积=S扇形EOF-S△OEF计算得到S阴影=π-2；再利用勾股定理计算出BD=2√(3)，易得△BED为等边三角形，则∠BED=60°，所以∠BFD=∠BED=60°，利用△PCD为等腰直角三角形得到PC=DC=√(3)，可计算得PB=3-√(3)，在Rt△PBH中，根据等腰直角三角形的性质可计算出BH=PH=(√(2))/(2)PB=(3√(2)−√(6))/(2)，在Rt△BHF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到HF=(√(3))/(3)BH=(√(6)−√(2))/(2)，则PF=PH+HF√(2)，然后根据三角形面积公式计算．名师点评本题考点：垂径定理；勾股定理；扇形面积的计算．考点点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式、圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)