如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：（1）BD2=AD•BE；（2）CD•BF=BC•DF．

Question

如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：

（1）BD²=AD•BE；
（2）CD•BF=BC•DF．

Answer 1

证明：（1）∵∠CBE=∠ABD，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠A=∠ABC，
∴∠A=∠DBE，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∵BE=DE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴∠A=∠DBE=∠BDE，
∴△ABD∽△DEB，
∴(AD)/(BD)=(BD)/(BE)，
即BD²=AD•BE；

（2）在△ABC与△DBE中，

∠A=∠BDE

AB=DB

∠ABC=∠DBE

，
∴△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，BE=BC，
∵∠CFD=∠EFB，
∴△CFD∽△EFB，
∴(BF)/(DF)=(BE)/(CD)，
∴(BF)/(DF)=(BC)/(CD)，
即：CD•BF=BC•DF．