如图，已知，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）当x为何值时，PQ∥BC；（2

Question

如图，已知，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．

（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）S_△BCQ：S_△ABC=1：3时，求S_△BPQ：S_△ABC的值；
（3）在现有条件下，哪些边对应成比例就能使△APQ与△CQB相似？并写出对应成比例的边．

Answer 1

（1）当PQ∥BC时，AP：AB=AQ：AC，
∵AP=4x，AQ=30-3x，
∴(4x)/(20)=(30-2x)/(30)，
解得：x=(10)/(3)；
即当x=(10)/(3)，PQ∥BC；
（2）∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3
∴CQ：AC=1：3，
∴CQ=10c，
∴时间用了(10)/(3)秒，
∴AP=(40)/(3)cm，
∵由（1）知，此时PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，相似比为(2)/(3)，
∴S_△APQ：S_△ABC=4：9，
∴四边形PQCB与三角形ABC面积比为5：9，即S_{四边形PQCB}=，(5)/(9)S_△ABC，
又∵S_△BCQ：S_△ABC=1：3，即S_△BCQ=(1)/(3)S_△ABC，
∴S_△BPQ=S_{四边形PQCB}-S_△BCQ═(5)/(9)S_△ABC-(1)/(3)S_△ABC=(2)/(9)S_△ABC，
∴S_△BPQ：S_△ABC=2：9=(2)/(9)；
（3）∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
当AP：CQ=AQ：BC，△APQ∽△CQB；
当AQ：CQ=AP：BC，△APQ∽△CBQ；
∴对应成比例的边为(AP)/(CQ)=(AQ)/(BC)或(AQ)/(CQ)=(AP)/(BC)．