探索与研究：在△ABC中，∠ABC=90°，分别以边AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，连接GD、AG、BD．（1）如图甲，求证：AG=BD．（2）如图乙，试说明：S△ABC=S△CDG．（提示

Question

探索与研究：
在△ABC中，∠ABC=90°，分别以边AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，连接GD、AG、BD．
（1）如图甲，求证：AG=BD．
（2）如图乙，试说明：S_△ABC=S_△CDG．
（提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角）

Answer 1

（1）∵四边形ABHI、四边形BCGF和四边形CAED都是正方形，
∴AB=BH=HI=AI，BC=CG=GF=BF，AE=DE=CD=AC，∠H=∠I=∠E=∠F=∠IAB=∠ABH=∠FBC=∠BCG=∠FGC=∠BAC=∠ACD=90°．
∴∠ACD+∠ACB=∠BCG+∠ACB，
∴∠DCB=∠ACG．
在△ACG和△DCB中，

AC＝DC

∠ACG＝∠DCB

BC＝GC

，
∴△ACG≌△DCB（SAS），
∴AG=BD；

（2）如图2，作BM⊥AC于M，GN⊥DC的延长于点N．
∴∠BMC=∠N=90°
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3．
在△BMC和△GNC中，

∠1＝∠3

∠BMC＝∠N

BC＝GC

，
∴△BMC≌△GNC（AAS），
∴BM=GN，
∴(1)/(2)AC•BM=(1)/(2)DC•GN，
∵S_△ABC=(1)/(2)AC•BM，S_△DCG=(1)/(2)DC•GN，
∴S_△ABC=S_△CDG．