如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，连结BD．设点D运动的时间为t（t>0）秒．（1）求AC的长度；（2）当t为何值时，△ABD是等腰

Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，连结BD．设点D运动的时间为t（t>0）秒．
（1）求AC的长度；
（2）当t为何值时，△ABD是等腰三角形？
（3）如图2，点A关于直线BD的对称点为A′，连接A′B，A′C．当△A′BC为直角三角形时，请直接写出t的值．（写出答案即可）

Answer 1

（1）如图1，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，
∴由勾股定理得，AC=√(AB2-BC2)=√(102-82)=6，
∴AC的长度为6；
（2）如图2，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，点D运动的时间为t（t>0）秒，
∴AD=2t，
①当AB=AD时，有2t=10，
解得t=5；
②当AB=BD时，根据BC⊥AD可知AC=CD，
∴AD=12，即2t=12，
解得t=6；
③当AD=BD=2t时，CD=2t-6，
在Rt△BDC中，由勾股定理可得，BC²+CD²=BD²，
即64+（2t-6）²=4t²，
解得t=(25)/(6)；
综上所述，t的值为5s或6s或(25)/(6)s时，△ABD是等腰三角形；

（3）如图3所示，当点D与点C重合时，∠BCA'=90°，此时△A′BC为直角三角形，

∴AC=AD=6，
∴t=6÷2=3（s）；
如图4所示，当A'B∥AC时，∠CBA'=∠ACB=90°，此时△A′BC为直角三角形，

连接AA'，则AA'被BD垂直平分，
∴BA=BA'，
∵BD⊥AA'，
∴∠ABD=∠A'BD，
又∵A'B∥AD，
∴∠ADB=∠A'BD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=10，
∴t=10÷2=5（s）．
∵∠BA'C<∠BAC<90°，
∴∠BA'C不可能是直角．
综上所述，当△A′BC为直角三角形时，t的值为3或5秒．