已知，等腰△ABC，AB=AC（1）如图1，BM是△ABC的中线，点N在BM上，且∠ANM=∠MBC，求证：BC=AN；（2）如图2，点G为外一点，∠BGC=∠BAC，AH⊥BG于H，若BH=7，HG=1，求线段CG的长；（3）如图3，等腰△A

Question

已知，等腰△ABC，AB=AC
（1）如图1，BM是△ABC的中线，点N在BM上，且∠ANM=∠MBC，求证：BC=AN；
（2）如图2，点G为外一点，∠BGC=∠BAC，AH⊥BG于H，若BH=7，HG=1，求线段CG的长；
（3）如图3，等腰△ABC和等腰△ADE共顶点A，AD=AE，顶角∠DAE=∠BAC，点F是线段BE和CD的交点，连AF，请写出∠AFC与∠ADE之间的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）如图1，延长BM至点D，使DM=BM，
∵AM=CM，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DBC=∠ADB，
∵∠ANM=∠DBC，
∴∠ANM=∠ADB，
∴AN=AD，
∴BC=AN；

（2）如图2，延长CG，过点A作AM⊥CG于点M，
∵AH⊥BG，
∴∠AHB=∠AMC，
∵∠BAC=∠BGC，
∴∠ABH=∠ACM，
在△CMA和△BHA中，

∠AHB=∠AMC

∠ABH=∠ACM

AB=AC

，
∴△CMA≌△BHA（AAS），
∴CM=BH=7，AM=AH，
在Rt△AMG和△Rt△AHG中，

AG=AG

AM=AH

，
∴△AMG≌△AHG（HL），
∴GM=GH=1，
∴CG=CM-GM=7-1=6，

（3）如图3，设AE与DF交于点M，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE和△ACD中，

AB=AC

∠BAE=∠CAD

AE=AD

，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ABE=∠ACD，
∴A、B、C、F四点共圆，
∴∠ABC+∠AFC=180°，
∴∠ADE=∠ABC，
∴∠ADE+∠AFC=180°．