如图，AB是O的直径，DB，DC分别与O相切于B，C，OD交O于点E，（1）求证：∠AEC=∠CDO；（2）若cos∠DCE=45，求sin∠AEC的值．

Question

如图，AB是 O的直径，DB，DC分别与 O相切于B，C，OD交 O于点E，

（1）求证：∠AEC=∠CDO；
（2）若cos∠DCE=(4)/(5)，求sin∠AEC的值．

Answer 1

证明：（1）如图1，连接OC、BC，
∵DB，DC分别与 O相切于B，C，
∴DC=BD，∠DCO=90°，
∴∠DCB+∠BCO=90°，
∵OC=OB，
∴OD是BC的中垂线，
∴∠CDO+∠DCB=90°，
∴∠BCO=∠CDO，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC，
∵∠AEC=∠OBC，
∴∠AEC=∠BCO=∠CDO；
（2）如图2，连接OC，过E作EH⊥CD于H，EG⊥CO于G，
∴∠EHC=∠EGC=90°，
∵∠DCO=90°，
∴四边形HEGC是矩形，
∴EH=CG，EG=HC，
Rt△CEH中，cos∠DCE=(4)/(5)=(CH)/(CE)，
设CH=4x，CE=5x，则EH=3x，
∴EH=CG=3x，EG=HC=4x，
设 o的半径为r，则OE=OC=r，OG=r-3x，
由勾股定理得：r²=（4x）²+（r-3x）²，
r=(25)/(6)x，
∵EG∥AD，
∴∠GEO=∠CDO，
∴∠AEC=∠CDO=∠GEO，
∴sin∠AEC=sin∠CDO=sin∠GEO=(OG)/(OE)=((25)/(6)x-3x)/((25)/(6)x)=(7)/(25)．