如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°<a&l

Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°<a<360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为___．

Answer 1

如图，

∵∠AOB=∠D′OC′，
∴∠ACO′=∠BOD′，
在△AOC′和△BOD′中，

AO=BO

∠AOC′=∠BOD′

OC′=OD′

，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴∠OAF=∠OBF，
∵∠AGO=∠BOF
∴∠BFA=∠BOA=90°，
∴点F、B、A、O四点共圆，
∴当点F在劣弧上运动时，点F的纵坐标随∠FAO的增大而增大，
∵OC′=2，
∴点C′在以点O为圆心，2为半径的圆O上运动，
∴当AF与 O相切时，∠C′AO（即∠FAO）最大，
此时∠AC′O=90°，点E′与点F重合，点F的纵坐标达到最大．
过点F作FH⊥x轴，垂足为H，如图所示．
∵∠AC′O=90°，C′O=2，AO=4，
∴∠E′AO=30°，AC′=2√(3)．
∴AF=2√(3)+2．
∵∠AHF=90°，∠FAH=30°，
∴FH=(1)/(2)AF=(1)/(2)×（2√(3)+2）=√(3)+1．
∴点P的纵坐标的最大值为√(3)+1．