如图，在正方形ABCD中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD于E．（1）求证：AO⊥EO．（2）连接DF，求tan∠FDE的值．

Question

如图，在正方形ABCD中，以BC为直径的正方形内，作半圆O，AE切半圆于点F交CD于E．

（1）求证：AO⊥EO．
（2）连接DF，求tan∠FDE的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB∥CD，
∴AB和CD为 O的切线，
∵AE切半圆于点F，
∴OA平分∠BAE，OE平分∠AEC，
而AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC=180°，
∴∠OAE+∠OEA=90°，
∴∠AOE=90°，
∴OA⊥OE；

（2） 作FH⊥CD于H，如图，设正方形ABCD的边长为4a，
则AF=AB=4a，OB=OC=2a，
∵∠AOE=90°，
∴∠AOB+∠COE=90°，
∵∠AOB+∠OAB=90°，
∴∠OAB=∠EOC，
∴Rt△ABO∽Rt△OCE，
∴AB：OC=OB：CE，即4a：2a=2a：CE，解得CE=a，
∴EF=EC=a，
∴EA=5a，ED=3a，
∵FH∥AD，
∴△EFH∽△EAD，
∴(FH)/(AD)=(EF)/(EA)=(EH)/(ED)，即(FH)/(5a)=(a)/(4a)=(EH)/(3a)，
∴FH=(5)/(4)a，EH=(3)/(4)a，
∴DH=3a-(3)/(4)a=(9)/(4)a，
∴tan∠FDE=(FH)/(DH)=((5)/(4)a)/((9)/(4)a)=(5)/(9)．