解答∫3/x3+1dx请各位的答案详细一点好吗？大概的思路，我是会的。就是中间步骤有些不懂。

Question

解答∫3/x3+1 dx
请各位的答案详细一点好吗？大概的思路，我是会的。就是中间步骤有些不懂。

Answer 1

是3/(x^3+1)吧
3/(x^3+1)
=3/(x+1)(x^2-x+1)
=a/(x+1)+(bx+c)/(x^2-x+1)(假设)
=[(a+b)x^2-(a-b-c)x+a+c]/(x+1)(x^2-x+1)
比较系数,有
a+b=0
a-b-c=0
a+c=3
得a=1,b=-1,c=2
于是3/(x^3+1)
=1/(x+1)-(x-2)/(x^2-x+1)
=1/(x+1)-(x-1/2-3/2)/[(x-1/2)^2+3/4]
对其积分得
ln|x+1|-ln(x^2-x+1)/2+sqrt(3)arctan[(2x-1)/sqrt(3)]+C
sqrt表示开根号