证明函数f（x，y）=x2yx2+y2，x2+y2≠00，x2+y2≠0在点（0，0）不可微．

Question

证明函数f（x，y）=

(x2y)/(x2+y2)，x2+y2≠0

0，  x2+y2≠0

在点（0，0）不可微．

Answer 1

由f′x(0，0)=

lim

△x→0

(f(0+△x，0))/(△x)=0及f′y(0，0)=

lim

△y→0

(f(0，0+△y))/(△y)=0，
知f（x，y）在原点处的两个偏导数存在；
记△f=f(△x，△y)-f(0，0)=(△x2△y)/(△x2+△y2)，
df=f′_x（0，0）•△x+f′_y（0，0）•△y=0，ρ=√(△x2+△y2)．
当△y=△x时，因

lim

ρ→0

(△f-df)/(ρ)=

lim

ρ→0

(△x2△y)/((△x2+△y2)3/2)=

lim

△x→0

(△x3)/((2△x2)3/2)=(1)/(2√(2))≠0，
知△f=f（△x，△y）-f（0，0）
不能写成f′_x（0，0）•△x+f′_y（0，0）•△y+o（ρ）的形式，
即f（x，y）在原点处不可微．