若点A（1，2）是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，经过点B（5，-2）的直线l与抛物线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求证：PA•QA为定值；（Ⅱ）若点P，Q与点A不重合，问△APQ的面积是否存在最大值？若

Question

若点A（1，2）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，经过点B（5，-2）的直线l与抛物线C交于P，Q两点．
（Ⅰ）求证：

PA

•

QA

为定值；
（Ⅱ）若点P，Q与点A不重合，问△APQ的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）∵点A（1，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C：y²=4x，（2分）
若直线l的斜率不存在，直线l：x=5，
此时P(5，2√(5))，Q(5，−2√(5))，A(1，2)，
∴

PA

•

QA

＝(−4，2−2√(5))•(−4，2+2√(5))＝0，（3分）
若直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x-5）-2，（k≠0），
点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
联立

y2＝4x

y＝k(x−5)−2

，
消去x，得ky²-4y-4（5k+2）=0，
∴y1+y2＝(4)/(k)，y1y