一元三次方程x^3-px+q=0的求根公式和韦达定理

Question

一元三次方程x^3-px+q=0的求根公式和韦达定理

Answer 1

【盛金公式】
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,（a,b,c,d∈R,且a≠0）.　
重根判别式：A=b^2－3ac；B=bc－9ad；C=c^2－3bd,
总判别式：Δ=B^2－4AC.　
当A=B=0时,盛金公式①：　
X⑴=X⑵=X⑶=－b/（3a)=－c/b=－3d/c.　
当Δ=B^2－4AC>0时,盛金公式②：　
X⑴=（－b－Y⑴^（1/3）－Y⑵^（1/3））/（3a）；
X（2,3）=（－2b+Y⑴^（1/3）+Y⑵^（1/3））/（6a）±i3^（1/2）（Y⑴^（1/3）－Y⑵^（1/3））/（6a）；
其中Y（1,2）=Ab+3a（－B±（B^2－4AC)^（1/2））/2,i^2=－1.　
当Δ=B^2－4AC=0时,盛金公式③：　
X⑴=－b/a+K；X⑵=X⑶=－K/2,
其中K=B/A,（A≠0）.　
当Δ=B^2－4AC<0时,盛金公式④：　
X⑴=（－b－2A^（1/2）cos（θ/3））/（3a）；
X（2,3）=（－b+A^（1/2）（cos（θ/3）±3^（1/2）sin（θ/3）））/（3a）；
其中θ=arccosT,T=（2Ab－3aB)/（2A^（3/2））,（A>0,－1更多请参考百度百科,这是最常用的方法.