如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点。（1）求Rt△ABC的面积；（2）说明不论a取任何实数

Question

如图，直线y= x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点。
（1）求Rt△ABC的面积；
（2）说明不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

Answer 1

如图，直线y= x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，若点P（1，a）为坐标系中的一个动点。
（1）求Rt△ABC的面积；
（2）说明不论a取任何实数，△BOP的面积都是一个常数；
（3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

（1）令y= x+1中x=0，得点B坐标为（0，1）； 令y=0，得点A坐标为（2，0）， 由勾股定理可得AB= ， 故可得S △ABC = AB·AC= ； （2）不论a取任何实数，三角形BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高， 所以S △BOP = 为常数； （3）分两种情况： ①当点P在第四象限时， ∵S △ABO =1，S △APO =﹣a，S △BOP = ， ∴S △ABP =S △ABO +S △APO ﹣S △BOP =S △ABC = ， 即1﹣a﹣ = ， 解得a=﹣2， ②当点P在第一象限时， ∵S △ABO =1，S △APO =a，S △BOP = ， ∴S △ABP =S △BOP +S △APO ﹣S △ABO =S △ABC = ， 即 +a﹣1= ， 解得a=3， 综上可得a=﹣2或3。