已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式．

Question

已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE=45°．

（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°
又∵∠ADB=∠DAC+∠C=∠DAC+45°，∠DEC=∠DAC+∠ADE=∠DAC+45°，
∴∠ADB=∠DEC，∴△ABD∽△DCE；
（2）（7分）∵∠BAC=90°，AB=AC=1
∴BC=√(12+12)=√(2)，
∴DC=BC-BD=√(2)-x，
∵△ABD∽△DCE，
∴(CE)/(BD)=(DC)/(AB)，即(CE)/(x)=(√(2)-x)/(1)，
∴CE=√(2)x-x2，
∴AE=AC-CE=1-（√(2)x-x2）=x²-√(2)x+1，
即y=x²-√(2)x+1（其中0<x<√(2)）．