如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上的一个动点（不与B点重合）．（1）过动点D作射线DE交线段AB于点E，使∠BDE=∠A．设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上的一个动点（不与B点重合）．

（1）过动点D作射线DE交线段AB于点E，使∠BDE=∠A．设BD=x，AE=y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）以点D为圆心，DC长为半径作 D，当 D与AB边相切时，求线段BD的长．

Answer 1

（1）如图1，在△ABC与△DBE中，∠B=∠B，∠BDE=∠A，
∴△ABC∽△DBE，
∴(BC)/(AB)=(BE)/(BD)，
∵BD=x，AE=y，
∴(16)/(10)=(10-y)/(x)，即(8)/(5)=(10-y)/(x)，
∴8x=50-5y，
∴y=(50-8x)/(5)=10-(8)/(5)x，
∵

x>0

y>0

，
∴0<x<(50)/(8)，
∴0<x<(25)/(4)；
（2）如图2，设以D为圆心，CD长为半径的 D与AB相切于点F，连接DF，则DF⊥AB于点F，
设CD=x，
∴在Rt△BDF中，sin∠B=(DF)/(BD)=(CD)/(BD)=(x)/(16-x)，
又过点A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴BM=(1)/(2)BC=(1)/(2)×16=8，
∴AM=√(AB2-BM2)=√(102-82)=6，
在Rt△ABM中，sin∠B=(AM)/(AB)=(6)/(10)=(3)/(5)，
∴(x)/(16-x)=(3)/(5)，
∴5x=48-3x，
∴x=(48)/(8)=6，
则BD=10．