已知双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Pi（i=1，2），使得△PiA1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的

Question

已知双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）中，A₁，A₂是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P_i（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）构成以A₁A₂为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是

√(2)＜e＜(√(5)+1)/(2)

√(2)＜e＜(√(5)+1)/(2)

．

Answer 1

由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy-bc=0，
∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P_i（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）构成以线段A₁A₂为斜边的直角三角形，
∴(bc)/(√(b2+c2))＜a，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∵e＞1，
∴e＜(√(5)+1)/(2)
∵a＜b，
∴a²＜c²-a²，
∴e＞√(2)，
∴√(2)＜e＜(√(5)+1)/(2)．
故答案为：√(2)＜e＜(√(5)+1)/(2)．