如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线y=-2x+bx+c(a≠0)经过点A、C.1.求抛物线的解析式;2.设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC

Question

如图，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别相交于A、C两点，抛物线

y=-2x+bx+c (a≠0)经过点A、C.

1.求抛物线的解析式;

2.设抛物线的顶点为P，在抛物线上存在点Q，使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;

3.点M是直线y=-2x+4上的动点，过点M作ME垂直x轴于点E，在y轴（原点除外）上是否存在点F，使△MEF为等腰直角三角形? 若存在 求出点F的坐标及对应的点M的坐标；若不存在，请说明理由

 

Answer 1

 

1.在中 当时

当时

∴A(2 0) ，    C(0 4)   代入

则                      1分

有                              2分

∴抛物线解析式为       3分

2.当时        ∴

过P作PD⊥轴于D

   OC=4 OD=

∴CD=    DP=∴

 

∴               4分

设△ABQ中AB边上的高为   

当时

      

∴     ∴

由题意

∴

                                       5分

设或

当

    

       

当

∴Q₁(0 4) Q₂(1 4)   7分

3.若存在点F使△MEF为等腰直角三角形 设

∵F不在原点 ∴点E不为直角顶点

①当M为直角顶点时 有

若同号(同正 即M在一象限)

则 即

     ∴ 此时

若异号(M在二或四象限)    则   即   

∴M₂(4 -4)   此时                      9分

   ②当F为直角顶点时 有

若同号(M在一象限)   则

即      ∴   此时F₃(0 1)

若异号(M在二象限或四象限)

则      即    此方程无解.

∴存在△MEF为等腰直角三角形 其坐标为

 ;   ;  

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二次函数