如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=kx（k≠0）的图象相交于A（-1，4）、B（4，-1）两点，直线l⊥x轴于点E（-4，0），与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D，连接AC、BC（1）求出b

Question

如图，一次函数y=-x+b与反比例函数y=(k)/(x)（k≠0）的图象相交于A（-1，4）、B（4，-1）两点，直线l⊥x轴于点E（-4，0），与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点C、D，连接AC、BC

（1）求出b和k；
（2）求证：△ACD是等腰直角三角形；
（3）在y轴上是否存在点P，使S_△PBC=S_△ABC？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵一次函数y=-x+b的图象经过点A（-1，4）
∴-（-1）+b=4，
 即b=3，
又∵反比例函数y=(k)/(x)（k≠0）的图象经过点A（-1，4）
∴k=xy=（-1）×4=-4；
（2）证明：∵直线l⊥x轴于点E（-4，0）则直线l解析式为x=-4，
∴直线x=-4与一次函数y=-x+3交于点D，则D（-4，7）
直线x=-4与反比例函数y=-(4)/(x)交于点C，
则C（-4，1）
过点A作AF⊥直线l于点F，
∵A（-1，4），C（-4，1），D（-4，7）
∴CD=6，AF=3，DF=3，FC=3
又∵∠AFD=∠AFC=90°，
由勾股定理得：AC=AD=3√(2)
又∵AD²+AC²=(3√(2))2+(3√(2))2=36
CD²=6²=36
∴AD²+AC²=CD²
∴由勾股定理逆定理得：△ACD是直角三角形，
又∵AD=AC
∴△ACD是等腰直角三角形；
（3）过点A作AP₁∥BC，交y轴于P₁，则S_△PBC=S_△ABC
∵B（4，-1），C（-4，1）
∴直线BC的解析式为y=-(1)/(4)x              
∵设直线AP₁的解析式为y=-(1)/(4)x+b₁，把A（-1，4）代入可求b₁=(15)/(4)，
∴P₁（0，(15)/(4)），
∴作P₁关于x轴的对称点P₂，则S△P1BC＝S△P2BC_BC=S_△ABC，
故P₂（0，-(15)/(4)）；
即存在P₁（0，(15)/(4)），P₂（0，-(15)/(4)）；