已知函数f0（x）=cx+dax+b（a≠0，ac-bd≠0），设fn（x）为fn-1（x）的导数，n∈N*．（1）求f1（x），f2（x）（2）猜想fn（x）的表达式，并证明你的结论．

Question

已知函数f₀（x）=(cx+d)/(ax+b)（a≠0，ac-bd≠0），设f_n（x）为f_n-1（x）的导数，n∈N^*．
（1）求f₁（x），f₂（x）
（2）猜想f_n（x）的表达式，并证明你的结论．

Answer 1

（1）f₁（x）=f₀′（x）=(bc-ad)/((ax+b)2)，
f₂（x）=f₁′（x）=[(bc-ad)/((ax+b)2)]′=(-2a(bc-ad))/((ax+b)3)；
（2）猜想f_n（x）=((-1)n-1•an-1•(bc-ad)•n！)/((ax+b)n+1)，n∈N*，
证明：①当n=1时，由（1）知结论正确；
②假设当n=k，k∈N*时，结论正确，
即有f_k（x）=((-1)k-1•ak-1(bc-ad)•k！)/((ax+b)k+1)
=（-1）^k-1a^k-1（bc-ad）•（k+1）![（ax+b）^-（k+1）]′=((-1)k•ak-1•(bc-ad)•k!)/((ax+b)k+2)
所以当n=k+10时结论成立，
由①②得，对一切n∈N*结论正确．