关于微分方程的证明题设y1(x),y2(x),y3(x)是微分方程y'+P(x)y=Q(x)的三个相异的解,证明：（y3(x）-y1(x))/(y2(x)-y1(x))=C

Question

关于微分方程的证明题
设y1(x),y2(x),y3(x)是微分方程y'+P(x)y=Q(x)的三个相异的解,证明：
（y3(x）-y1(x))/(y2(x)-y1(x))=C

Answer 1

只需证明[y3(x）-y1(x)]/[y2(x)-y1(x)]的导数恒为0.
事实上,[y3(x）-y1(x)]/[y2(x)-y1(x)]的导数为
[(y3(x)'-y1(x)')(y2(x)-y1(x))-(y3(x)-y1(x))(y2(x)'-y1(x)')]/(y2(x)-y1(x))^2
由于y1,y2,y3都满足题设中的微分方程, 所以可用Q-P(x)y1代替导数y1’
代人上式,y2,y3同理.代入后即可得到上式恒为0.所以结论成立.