如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A-B-C的方向在矩形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面

Question

如图，矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A-B-C的方向在矩形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．

（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积是矩形ABCD面积的(1)/(3)？
（2）整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？

Answer 1

（1）∵矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm，
∴矩形ABCD的面积S=12cm×8cm=96cm²，
则(1)/(2)t×1×8=(1)/(3)×96，
解得：t=8，
即当P在AB上，t为8时，△APE的面积是矩形ABCD面积的(1)/(3)；

（2）如图1：

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8cm，CD=AB=12cm，∠C=∠D=∠ABC=90°，
∵E为CD的中点，
∴DE=CE=6cm，
由勾股定理得：AE=BE=10cm，
分为两种情况：第一种情况：当P在AB上时，①如图1，当P和B重合时，AE=PE，此时△APE是等腰三角形，
此时t=12；
②如图2：

当AP=AE=10cm，此时△APE是等腰三角形，
此时t=10；
③如图3：

作AE的垂直平分线，交AE于M，交AB于P，此时AP=PE，△APE是等腰三角形，
则∠PAD=∠D=∠PMA=90°，AM=ME=(1)/(2)AE=5cm，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠APM=90°，
∴∠1=∠APM，
∴△APM∽△EAD，
∴(AP)/(AE)=(AM)/(DE)，
∴(AP)/(10)=(5)/(6)，
∴AP=(3)/(25)，
即t=(3)/(25)；
第二种情况：当P当P在BC上时，如图4：

∵AE=10cm，AP>AB，PE<PB，
∴AP>12cm，PE<10cm，
即此时AE、AP、PE不相等，
即P在BC上时，△APE不能为等腰三角形；
综合上述：整个运动过程中，t为12或10或12.5时，△APE为等腰三角形．