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已知x、y、z是勾股数,x是质数,求证2z-1和2(x+y+1)都是完全平方数
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已知x、y、z是勾股数,x是质数,求证2z-1和2(x+y+1)都是完全平方数
▼优质解答
答案和解析
证明：
x² = z² - y² = (z + y)(z -y)
因为 x 是质数,所以
x² 只有 l,x,x² 这三个正的约数．
由于z + y > z - y > 0
所以有
z + y = x² ①
z - y = 1 ②
由此得2z - l = x² ③
且 2y = x² - 1
2(x + y + 1) = 2x + 2y + 2 = 2x + x² - 1 + 2 = (x + 1) ² ④
根据③、④,可知,2z - l 和 2(x + y + 1) 都是完全平方数
x² = z² - y² = (z + y)(z -y)
因为 x 是质数,所以
x² 只有 l,x,x² 这三个正的约数．
由于z + y > z - y > 0
所以有
z + y = x² ①
z - y = 1 ②
由此得2z - l = x² ③
且 2y = x² - 1
2(x + y + 1) = 2x + 2y + 2 = 2x + x² - 1 + 2 = (x + 1) ² ④
根据③、④,可知,2z - l 和 2(x + y + 1) 都是完全平方数
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