设z=z（x，y）是由方程f（x-z，y-z）=0所确定的隐函数，其中f（u，v）具有连续的偏导数且∂f∂u+∂f∂v≠0，求∂z∂x+∂z∂y的值．

Question

设z=z（x，y）是由方程f（x-z，y-z）=0所确定的隐函数，其中f（u，v）具有连续的偏导数且(∂f)/(∂u)+(∂f)/(∂v)≠0，求(∂z)/(∂x)+(∂z)/(∂y)的值．

Answer 1

设u=x-z，v=y-z，则f（u，v）=0
∴两边对x求偏导，得
(∂f)/(∂u)•(∂u)/(∂x)+(∂f)/(∂v)•(∂v)/(∂x)＝0，即(∂f)/(∂u)•(1−(∂z)/(∂x))+(∂f)/(∂v)•(−(∂z)/(∂x))＝0
∴(∂z)/(∂x)＝((∂f)/(∂u))/((∂f)/(∂u)+(∂f)/(∂v))
同理，两边对y求偏导，得
(∂f)/(∂u)•(∂u)/(∂y)+(∂f)/(∂v)•(∂v)/(∂y)＝0，即(∂f)/(∂u)•(−(∂z)/(∂y))+(∂f)/(∂v)•(1−(∂z)/(∂y))＝0
∴(∂z)/(∂y)＝((∂f)/(∂v))/((∂f)/(∂u)+(∂f)/(∂v))
∴(∂z)/(∂x)+(∂z)/(∂y)=1