已知方程2cos2x+4sinx+m-2=0在[-π/2,π/2]上有一解,两解,无解,求相应的m的取值范围

Question

已知方程2cos2x+4sinx+m-2=0在[-π/2,π/2]上有一解,两解,无解,求相应的m的取值范围

Answer 1

刚好回家作业也做到这题,给你回答一下.
2[1-2(sinx)^2]+4sinx+m-2=0
4(sinx)^2-4sinx-m=0
令t=sinx,t属于[-1,1],
方程变为4t^2-4t-m=0即4(t-1/2)^2-m-1=0
令f(t)=4(t-1/2)^2-m-1,t∈[-1,1]
且f(-1)=8-m f(1)=-m 得f(-1)>f(1)
①一解
画图得,该情况有两种个可能性,Δ=0或f(1)=0
(1)Δ=0,16+16m=0,m=-1
(2)f(1)=0,00,f(1)≥0
解得m∈(-1,0]
③无解
图,得两种可能性Δ0,f(-1)