已知函数f（x）=alnx+x2（a为常数）．若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，则实数a的取值范围是．

Question

已知函数f（x）=alnx+x²（a为常数）．若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x²-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而a≥(x2−2x)/(x−lnx)，（x∈[1，e]）
令g（x）=(x2−2x)/(x−lnx)，（x∈[1，e]），
又g′（x）=((x−1)(x+2−2lnx))/((x−lnx)2)，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），
∴g（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（1）=-1，
∴a的取值范围是[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．