已知z1=a+（a+1）i，z2=-3b+（b+2）i（a＞0、b＞0）且3z12+z22=0，求z1和z2．

Question

已知z₁=a+（a+1）i，z₂=-3b+（b+2）i（a＞0、b＞0）且3z₁²+z₂²=0，求z₁和z₂．

Answer 1

根据条件中所给的两个向量之间的关系3z₁²+z₂²=0，变形为z₁和z₂之间的关系z₂=±iz₁，因为有两种情况，所以要进行讨论，再根据两个复数相等的充要条件，写出关系式，解方程组得到结果．
【解析】
∵3z₁²+z₂²=0，
∴（）²=-3，即=±i．
∴z₂=±iz₁．
当z₂=iz₁时，得
-3b+（b+2）i=i[a+（a+1）i]=-（a+1）+ai．
由复数相等的条件，得，解得a=2，b=1，
∴z₁=+3i，z₂=-3+3i．
当z₂=-iz₁时，得-3b+（b+2）i=（a+1）-ai，
由复数相等的条件，知
∴
∵已知a，b∈（0，+∞），
∴此时适合条件的a，b不存在．
∴z₁=+3i，z₂=-3+3i．