求曲面x^2+y^2=2az被柱面x^2+y^2=3a^2所割下部分的面积A,其中a>0.答案是(14π/3)a^2,

Question

求曲面x^2+y^2=2az被柱面x^2+y^2=3a^2所割下部分的面积A,其中a>0.答案是(14π/3)a^2,

Answer 1

求曲面x²+y²=2az被柱面x²+y²=3a²所割下部分的面积A,其中a>0.
z=(x²+y²)2a；∂z/∂x=x/a；∂z∂y=y/a；积分域Dxy：x²+y²=3a².
故面积A=(Dxy)∫∫√[1+(x/a)²+(y/a)²]dxdy=(Dxy)(1/a)∫∫√(a²+x²+y²)dxdy
下面换成极坐标：x=(√3)acosθ,y=(√3)asinθ,于是：
A=(Dρθ)(1/a)∫∫√[a²+3a²cos²θ+3a²sin²θ)ρdρdθ=(Dρθ)∫∫2ρdρdθ=2∫[0,2π]dθ∫[0,(√3)a]ρdρ
=4π(ρ²/2)︱[0,(√3)a]=4π(3a²/2)=6πa².