设实数x，y满足条件：①x≥0，y≥0；②3x-y-6≤0；③x-y+2≥0，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则2a+3b的最小值是256256．

Question

设实数x，y满足条件：①x≥0，y≥0；②3x-y-6≤0；③x-y+2≥0，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则(2)/(a)+(3)/(b)的最小值是

(25)/(6)

(25)/(6)

．

Answer 1

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
由ax+by=z（a＞0，b＞0），得y＝−(a)/(b)x+(z)/(b)，
则y＝−(a)/(b)x+(z)/(b)的斜率k=−(a)/(b)＜0，
平移直线得y＝−(a)/(b)x+(z)/(b)，由图象可知当直线得y＝−(a)/(b)x+(z)/(b)经过点B时，直线的截距最大，
此时z最大，
由

x−y+2＝0

3x−y−6＝0

，解得

x＝4

y＝6

，
即直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点为B（4，6），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，
∴2a+3b=6，即(a)/(3)+(b)/(2)＝1，
∴(2)/(a)+(3)/(b)=（(2)/(a)+(3)/(b)）（(a)/(3)+(b)/(2)）=

2

作业帮用户 2016-11-18 举报

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问题解析

已知2a+3b=6，求 的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．

名师点评

本题考点：

基本不等式．

考点点评：

本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．利用数形结合是解决本题的关键．

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